ගණිතමය ලෝකය: සංශයතාව(Uncertainty)

ගණිතය යනු  අමූර්ත(abstract) එමෙන්ම තර්කානුකූලව සම්බන්ධ වූ අදහස් ජාල ගොඩනැගීමට හා යොදා ගැනීමට අදාළ වන අවශ්‍යයෙන්ම චින්තන ක්‍රියාදාමයකි. මේ අදහස් බොහෝ විට පැනනගින්නේ විද්‍යාවේ එමෙන්ම තාක්ෂණයේ සහ  එදිනෙදා ජීවිතයේ ගැටලු විසඳීම සඳහා ඇතිවන අවශ්‍යතාවයෙනි. මේ ගැටලු, සංකීර්ණ විද්‍යාත්මක ගැටලුවක කිසියම් අංග ආකෘති ගත කරන්නේ කෙසේද යන්නෙහි සිට චෙක් පොතක් තුලනය කරන්නේ කෙසේද යන්න දක්වා පරාසයක් ගනියි.

මේ ලිපි මාලාවෙන් උත්සාහ දරන්නේ මිනිසුන්ගේ සියලුම ප්‍රයත්නයන් තුළ කාර්යභාරයක් ඉටුකරන මූලික ගණිතමය අදහස්, විශේෂයෙන්ම ප්‍රායෝගික  භාවිතයක් සහිත අදහස් සම්බන්ධ නිර්දේශ ඉදිරිපත් කරන්නටය. අමුර්තන ගොඩනගා එමෙන්ම මෑනවීම් සිදු කර සහ අනුමිති (implications), මුල් අවස්ථාව හා සංසන්දනය කර හරි වැරදි බලන්නාවූ නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රියාදාමයක් ලෙස අනුලක්ෂණය කෙරේ. මෙහිදී අවධානය යොමු වන්නේ එවන් නිරූපන කිරීම් සඳහා ලබාගත හැකි ගණිතමය රටා වර්ග හතක් පිළිබඳ නිදසුන් කෙරෙහිය. සංඛ්‍යාවල ස්වභාවය හා භාවිතය, සංකේතක සම්බන්ධතා, හැඩතල, සංශයතාව, දත්ත සම්පිණ්ඩනය, දත්ත නියදීම සහ නර්තනය එම හතයි. ලිපි පෙලෙහි දී මේ හත වෙන වෙනම ගෙන විග්‍රහ කරන්නෙමු.

සම්භාවිතාව

ලෝකය තුළ කටයුතු සිදුවන්නේ කුමණ ආකාරයට ද යන්න පිළිබඳව අපගේ දැනුම, අඩු තරමින් සංශයතා(අවිනිශ්චිතතා) වර්ග 5ක් මගින්වත් සීමා වේ.

(1) යමක් කෙරෙහි බලපෑමට හැකියාවක් තිබෙන සාධක සියල්ල පිළිබඳව ප්‍රමාණවත් නොවන දැනුම

(2)  එකී සාධක ගැන නිරීක්ෂණ ප්‍රමාණවත් නොවන ගණනක්

(3) (එකී)  නිරීක්ෂණවල සුනම්‍යතාවක්(precision) නොමැතිකම

(4) සියලු තොරතුරු අර්ථාන්විතව එකට එකතු කිරීම සඳහා යෝග්‍ය ආකෘතියක් හෙවත් මොඩලයක් නොමැතිකම  සහ

(5) (එකී) ආකෘතිවලින් ආගණනය කිරීමට ඇති හැකියාව ප්‍රමාණවත් නොවීම

වර්ග පහයි.

ඇතැම් සිද්ධි මහා නිරවද්‍යතාවයකින් යුතු ව පුරෝකතනය කළ හැකිය. ( උදාහරණ ග්‍රහණ (eclipses)  අනෙක් ඒවා තරමක නිරවද්‍යතාවයකින් ද ( උදාහරණ මැතිවරණ ප්‍රතිඵල) තවත් සමහරක් ඉතාමත් සුළු නිරවද්‍යතාවයකින් ද (උදාහරණ භූමි කම්පා)  පුරෝකතනය කළ හැකි වේ. පූර්ණ අසංශයතාව හෙවත් නිශ්චිතතාව (certainty) බොහෝවිට සාක්ෂාත් කරගත හැක්කක් නොවුණද අපට බොහෝවිට යමක්වීමේ හැකියාව()හෙවත් සම්භාවිතාව අඩු ද වැඩි ද වශයෙන් කොයි ආකාරද යන්න  තක්සේරු කළ හැකිය. එසේම එම තක්සේරුවේ දෝෂ සීමාන්තරය (margin of error) කොයි තරමි විය හැකිද යන්න අපට නිර්ණය කළ හැකිය.

යමක් වීමේ හැකියාව හෙවත් භව්‍යතාව(likelihood)  සංඛ්‍යාමය සම්භාවිතාවක් ලෙස ප්‍රකාශයට පත් කිරීම බොහෝවිට වැඩදායකය. අප සාමාන්‍යයෙන් යොදාගන්නේ 0  බින්දුවේ සිට 1 දක්වා වූ සම්භාවිතා පරිමාණයකි. මෙහිදී 0 නියෝජනය කරන්නෙ නැත්නම් හඟවන්නේ යම් සිද්ධියක් නිශ්චිතව සිදු නොවන බවට ඇති අපේ විශ්වාසයයි. 1 යන   අංකයෙන් දැක්වෙන්නේ සිදුවීම නිශ්චිතවම සිද්ධ වෙන බවට අපට ඇති විශ්වාසයයි. දෙක අතර ඇති ඕනෑම  දෙයකින් හැඟවෙන්නේ අවිනිශ්චිතතාව හෙවත් සංශයතාවයයි. නිදසුනක් දක්වන්නේනම් .9 ක සම්භාවිතාවයකින් දැක්වෙන්නේ සිදුවීමක්, කලින් පුරෝකතනය කළ පරිදි සිදුවීමට 10න්  නවයක අවස්ථාවක් තිබෙන බවට අපට ඇති විශ්වාසයයි; එමෙන්ම .001ක සම්භාවිතාවයකින් දැක්වෙන්නේ සිදුවීම සිදුවන්නට ඇති අවස්ථාව 1000කට එකක් පමණක් බවයි. මෙලෙසම, සම්භාවිතාවයන් 0% ( කිසිම අවස්ථාවක් නොමැති) සිට 100% (අසංශයතාව හෙවත් නිශ්චිතතාව) ලෙස ප්‍රතිශත ආකාරයට ද දැක්විය හැකිය. හව්මාව (odds – වාසි අවාසි අනුපාතය) ලෙස ද සංශයතා ප්‍රකාශ කළ හැකිය. සිද්ධියක් සිදුවීමෙ .8ක සම්භාවිතාව 8ට 2ක හව්මාව  (හෝ 4ට 1ක හව්මාව ලෙස) සිද්ධිය සිදු වීමට ඇති ඉඩ කඩ හැටියට ප්‍රකාශ කළ හැකි වේ.

යම් සිද්ධියක සම්භාවිතාව තක්සේරු කිරීමේ එක් විදියක් වන්නේ අතීත සිද්ධි සැලකිල්ලට ගැනීමයි.  වර්තමාන අවස්ථාව අතීත අවස්ථාවට සමාන නම් අපට එවිට යම් ආකාරයක සමාන ප්‍රතිඵල අපේක්ෂා කළ හැකිය. නිදසුනක් ගමු. පසුගිය වසරේ ගිම්හානයේ දින අතුරෙන් සියයට 10ක  වැසි වැටුණේ නම් මේ වසරේ ගිම්හානයේ දින අතුරෙන් ද  දළ වශයෙන් 10% කදී වැසි වැටෙතැයි අපේක්ෂා කළ හැකිය මෙලෙස ඕනෑම ගිම්හාන දිනයක වර්ෂාපතනයේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ සාධාරණ තක්සේරුවක් වන්නේ 1 කි. එනම් දහයට එක් අවස්ථාවකි. සම්භාවිතාව පිලිබද මේ තක්සේරුව අතිරේක තොරතුරු හේතුවෙන් වෙනස් වීමට පුළුවන. නිදසුනකින් දක්වන්නේනම් පසුගිය ගිම්හානයේ දී වලාකුළින් බර දින අතුරින් 40% ක දී  වැසි වැටෙන්නට ඇත. මේ අනුව ගිම්හානයක අප තෝරගත් දිනය දිනය වලාකුලින් බර නම්  වර්ෂාපතන සඳහා ඇති සම්භාවිතාව පිළිබඳව අපේ තක්සේරුව .1 සිට .4 ඉහළ නගී. අප උනන්දුවක් දක්වන අවස්ථාව අප සතුව ඇති දත්ත වලට වඩාත් සමාන වේ නම් අපේ තක්සේරුව වඩා යහපත් වීමට ඇති හැකියාව වැඩිය.

සම්භාවිතාවයන් තක්සේරු කිරීමේ තවත් ප්‍රවේශයක් වන්නේ කිසියම් නිශ්චිත සිද්ධියක් සම්බන්ධයෙන් තිබිය හැකි විකල්ප ප්‍රතිඵලයන් ගැන සැලකීමයි. නිදසුනකට ගතහොත් roulette නම් ක්‍රීඩාවෙහි රෝදයෙහි සමාන  පළලින් යුතු කට්ට නැතිනම් තවු තිස් අටක් තිබේ නම් කැරකෙන රෝදයේ බෝලය එක එක  තවුවෙහි පතිත වීමට ඇති අවස්ථාව 1/38 ක් ලෙස අපට අපේක්ෂා කළ හැකිය,  ඇතිවිය හැකියි සියලුම ප්‍රතිඵල වලටවගකියන එමෙන්ම සියල්ල සිදුවීමට එකසමාන හැකියාවක් ඇති උපකල්පන මත එවන් සෛදාන්තික සම්භාවිතාවක් පිළිබඳ තක්සේරු රඳා පවතී.  එහෙත් එය සැබෑ නොවන්නෙ නම්,  නිදසුනක් ලෙස තවු එකම  ප්‍රමාණයේ ඒවා නොවේ නම් හෝ බෝලය ඇතැම්විට රෝදයෙන් පිටතට පනී නම් ගණන් බලනු ලබන සම්භාවිතාව වැරදි විය හැකිය.

සම්භාවිතාවන් වඩාත් ප්‍රයෝජනවත් වනුයේ සිද්ධීන් විශාල සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිඵල අනුපාතයන් පුරෝකතනය කිරීමේදීය. කාසියක් උඩ දැමූවිට ‘නෝනා’(heads) පෙරලීමට 50% ක අවස්ථාවක් ඇත. එසේ වුවද එක සමාන වාර ගණනක් කාසිය උඩ දැමුවා විට කෙනෙකුට සාමාන්‍යයෙන් නිශ්චිතවම 50% ක් අවස්ථාවලදී නෝනා නොපෙරලෙන්න ඉඩ ඇත. කාසිය උඩ දමන අතර වාර ගණන  වැඩිවෙන්ට වෙන්නට හරියටම 50% ක ප්‍රතිඵල ලබාගැනීමට ඇති හැකියාව අඩුයි. එහෙත් ‘නෝනා‘ වැටීමේ අනුපාතය සෛදාන්තික 50%ට ආසන්නවීමට හැකියාව ඇතිවේ. මෙලෙස කිසියම් වර්ෂයක වයස අවුරුදු 20න් අඩු ජනතාව අතුරින් මියයන අනුපාතය ප්‍රතිශත ලක්ෂ්‍ය එකක් හෝ දෙකක් ඇතුළත පුරෝකථනය කිරීමට රක්ෂණ සමාගම් වලට සාමාන්‍යයෙන් හැකි වුවද ඇත්තටම මිය යන සංඛ්‍යාව දහස් ගණනින් වෙනස් වීමට හැකිය. තවද  20 හැවිරිදි අය අතුරෙන් කිසියම් නිශ්චිත අයෙකු මිය යාවි දැයි පුරෝකතනය කිරීමට ද ඔවුනට කිසිම හැකියාවක් නැත. සමාන සිද්ධි ඉතා විශාල සංඛ්‍යාවක් ඇති කළ ඉතා සුළු සම්භාවිතාවක් සහිත ප්‍රතිඵලයන් සැලකිය යුතු තරමක් සිදුවිය හැකියි. නිදසුනකින් දක්වන්නේ නම් නිවැරදිවීමට සියයට 99 සම්භාවිතාවක් ඇති වෛද්‍ය පරීක්ෂණයක් ඉතා නිවැරදි යයි පෙනී යා හැකිය. එහෙත් එම පරීක්ෂණ මිලියනයක පිරිසක් සම්බන්ධයෙන් සිදුකළ විට දළ වශයෙන් පුද්ගලයන් දහදාහකට වැරදි ප්‍රතිපල ලැබේ.

American Association for the Advancement of Science මගින් සකසන Science for All Americans On-Line හි පළවූ  THE MATHEMATICAL WORLD  නම්  9 වෙනි පරිචේදය ඇසුරෙන් සැකසෙන ලිපි මාලාවක තවත් ලිපියකි   මේ.