ගණිතමය ලෝකය: තර්කනය(REASONING)

ගණිතය යනු  අමූර්ත(abstract) එමෙන්ම තර්කානුකූලව සම්බන්ධ වූ අදහස් ජාල ගොඩනැගීමට හා යොදා ගැනීමට අදාළ වන අවශ්‍යයෙන්ම චින්තන ක්‍රියාදාමයකි. මේ අදහස් බොහෝ විට පැනනගින්නේ විද්‍යාවේ එමෙන්ම තාක්ෂණයේ සහ  එදිනෙදා ජීවිතයේ ගැටලු විසඳීම සඳහා ඇතිවන අවශ්‍යතාවයෙනි. මේ ගැටලු, සංකීර්ණ විද්‍යාත්මක ගැටලුවක කිසියම් අංග ආකෘති ගත කරන්නේ කෙසේද යන්නෙහි සිට චෙක් පොතක් තුලනය කරන්නේ කෙසේද යන්න දක්වා පරාසයක් ගනියි.

මේ ලිපි මාලාවෙන් උත්සාහ දරන්නේ මිනිසුන්ගේ සියලුම ප්‍රයත්නයන් තුළ කාර්යභාරයක් ඉටුකරන මූලික ගණිතමය අදහස්, විශේෂයෙන්ම ප්‍රායෝගික  භාවිතයක් සහිත අදහස් සම්බන්ධ නිර්දේශ ඉදිරිපත් කරන්නටය. අමුර්තන ගොඩනගා එමෙන්ම මෑනවීම් සිදු කර සහ අනුමිති (implications), මුල් අවස්ථාව හා සංසන්දනය කර හරි වැරදි බලන්නාවූ නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රියාදාමයක් ලෙස අනුලක්ෂණය කෙරේ. මෙහිදී අවධානය යොමු වන්නේ එවන් නිරූපන කිරීම් සඳහා ලබාගත හැකි ගණිතමය රටා වර්ග හතක් පිළිබඳ නිදසුන් කෙරෙහිය. සංඛ්‍යාවල ස්වභාවය හා භාවිතය, සංකේතක සම්බන්ධතා, හැඩතල, සංශයතාව, දත්ත සම්පිණ්ඩනය, දත්ත නියදීම සහ නර්තනය එම හතයි. ලිපි පෙලෙහි දී මේ හත වෙන වෙනම ගෙන විග්‍රහ කරන්නෙමු.

තර්කනය(REASONING)

තර්කනයේ සමහරක් අංශ තුල පැහැදිලි,  තර්කානුකූල නීති ඇත. අනෙක් ඒවායේ ඇත්තේ හුදු මාර්ගෝපදේශක පමණකි. තවත් සමහරක නිර්මාණශීලීත්වයට( සහ ඇත්තටම දෝෂ වලටද) ඉඩ ඇත. පිළිගත හැකි විතර්කයක් සඳහා සත්‍ය ප්‍රකාශයන් හෙවත් උක්තීන් (statements) සහ ඒවා අතර වලංගු සම්බන්ධතා යන දෙකම අවශ්‍ය වේ.  එසේ වුවද රූපික තර්ක ශාස්ත්‍රයට (formal logic ) වැදගත් වන්නේ ප්‍රකාශ අතර සම්බන්ධතාවල වලංගුතාව මිස ප්‍රකාශ සැබැවින්ම සත්‍ය ද යන්න නොවේ. සියලුම පක්ෂීන්ට ඉගිලිමට හැකිනම්, පෙන්ගුයින් ද පක්ෂියකු නම් පෙන්ගුයින්ට ද පියාඹිය හැකි යයි කියා සිටීම,  තර්කානුකූලව නිවැරදි විය හැකියි. එහෙත් පූර්වාවයන්(premises) සැබෑ නොවන්නේ නම් නිගමනය සත්‍යයක් නොවේ. සියලුම පක්ෂීන් ඉගිලෙන්නේ ද? එමෙන්ම පෙන්ගුයින් ඇත්තටම පක්ෂියෙක්ද? පූර්වායවවල සත්‍යතාව විභාග කර බැලීම, ඒවා මත ක්‍රියාත්මක තර්කය ලෙසම යහපත් තර්කනයකට වැදගත් වේ. මෙකී උදාහරණයේදී,  තර්කය නිවැරදි නමුත් නිගමනය අසත්‍ය නිසා (පෙන්ගුයින්ට පියෑඹිය හැකි ය) පූර්වායවවලින් එකක් හෝ දෙකම අසත්‍ය විය යුතුය. (සියලුම පක්ෂීන්ට පියෑඹිය නොහැකිය සහ / හෝ පෙන්ගුයින් පක්ෂියෙක් නොවේ.)

තර්කානුකූල පියවර කුඩා සංඛ්‍යාවකින් ඉතා සංකීර්ණ තර්කානුකූල විතර්ක ගොඩ නැගිය හැකිය.  “ඉදින් හෙවත් නම්” (if), “සහ”  “හෝ”, මෙන්ම “නැත”  යන මූලික පද යථාතාථ්‍යව යොදා ගැනීම මත ඒවා රඳා පවතී. නිදසුනකට (වෛද්‍යමය) රෝගවිනිශ්චයකට “රෝගියාට X රෝගය හෝ Y රෝගය ඇත්නම් තවද රසායනාගාර වාර්තාව B තිබුණද C තිබෙන බවට ඉතිහාසයක් නැති නම් එවිට රෝගියාට D නම් ප්‍රතිකාර ලබාදිය යුතුය” යන තර්ක දාම බෙදී යාම සම්බන්ධ වේ. ඒ ආකාරයට තර්කන ගැටලු නිරාකරණයට බොහෝ සම්බන්ධතා පිළිබඳව විශේෂඥ දැනුමක්, සම්බන්ධතාවය ලබා දීම පිණිස බොහෝ දත්ත වලට ප්‍රවේශ වීමේ හැකියාව සහ තාර්කික මෙහෙයුම් දාමයන් බෙදීයාම නිගමනය කිරීමේ කුසලතාව අවශ්‍ය වේ.

පරිගණකවලට විශාල ප්‍රමාණයක් සම්බන්ධතා හා දත්ත ගබඩා කිරීමට හා සමුද්ධරණය කිරීමට (යළි අත්පත් කරගැනීමට) හැකි නිසාත් තාර්කික පියවර දීර්ඝ පෙළක් සීඝ්‍රයෙන් ක්‍රියාවට නැංවිය  හැකි නිසාත්,  ඒවා නොමැති නම් විසඳීමට ඉතා අසීරු හෝ නොහැකි සංකීර්ණ ගැටලු විසදීමෙහිලා එන්ට එන්ට ම වැඩියෙන් පරිගණක යොදා ගැනේ. කෙසේවෙතත් සියල්ලම පරිගණකය මගින් විසදිය නොහැක.

තාර්කික සබඳියාව පහසුවෙන්ම කුරූපණය (distortion) විය හැකිය. නිදසුනක් ගමු.  ‘සියලුම පක්ෂීන් ට පියාසර කළ හැකිය’ යන ප්‍රස්තුතය පියාසර කිරීමට හැකි සතුන් සියල්ලම පක්ෂීන් වෙතැයි තර්කානුකූලව හඟවන්නේ නැත. මෙම සරල නිදසුන් මගින් ප්‍රත්‍යක්ෂ වන්නේ එහි පෙනී යන අන්දමට කුරූපණය බොහෝ විට සිදුවන්නේ විශේෂයෙන්ම ආවේගශීලී අවස්ථාවල දීය. නිදසුන: සියලුම වැරදිකාර සිරකරුවෝ තමන්ටම එරෙහිව සාක්ෂි දීම ප්‍රතික්ෂේප කරති. ස්මිත් නැමැති සිරකරුවා ඔහුටම එරෙහිව සාක්ෂි නොදෙයි. ඒ අනුව ස්මිත් නම්  සිරකරුවා වරදකාරයෙකි.

තර්කයෙදී  කුරූපණ බොහෝවිට ඇතිවන්නේ අවශ්‍ය තත්ත්වයන් සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි අතර තෝරා බේරා ගැනීම් නොකිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙසිනි. සංවිපාකයක් සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසියක් සෑමවිටම උවමනාවන නමුත් එයම ගතහොත්  ප්‍රමාණවත් නොවිය හැකිය.   ඇමරිකා එක්සත් ජනපද ජනාධිපති ලෙස තේරීපත් වීමට නම් එරට පුරවැසියකුව සිටීමේ කොන්දේසිය අවශ්‍ය වන නමුත් එයම ප්‍රමාණවත් නොවේ. කොන්දේසියක් ගතහොත් සංවිපාකයන් සඳහා එයම ප්‍රමාණවත් නැතිනම් සෑහෙන නමුත් එම සංවිපාකය වෙත ළඟා වීම පිණිස වෙනත් විධි තිබිය හැකිය.  ලොතරැයි දිනුමක් ඇදීම පොහොසත් වීම සඳහා ප්‍රමාණවත් නමුත් (ඊට)වෙනත් විධි තිබේ. කෙසේ වුවද කොන්දේසියක් අවශ්‍යවීම  මෙන්ම ප්‍රමාණවත්වීම යන දෙකම විය හැකිය නිදසුනක් දක්වන්නේ නම් ඡන්දදායකයන්ගෙ  ඡන්දයෙන් බහුතරය ලබා ගැනීම ජනාධිපති වීම සඳහා අවශ්‍යය මෙන්ම ප්‍රමාණවත්ය යන දෙකම වියයුතු වන්නේ ඊට වෙනත් ක්‍රමයක් නොමැති බැවිනි.

බොහෝ ප්‍රශ්නවලට පිළියම් සෙවීමේදී තර්කයෙහි  ඵලප්‍රයෝජනය  සීමිතය. වියුක්ත ආකෘති වලින් පරිබාහිරව අපට පූර්වායවයන්හි  සත්‍යතාව හෝ ඒවා අතර තාර්කික සම්බන්ධතාව විශ්වාසයෙන් යුතුව ස්ථාපිත කිරීම අපට බොහෝවිට නොහැකිය. ” X සත්‍යය නම් එහෙනම්  Y ද සත්‍යවේ” ( බුරන බල්ලා සපානොකය්) සහ “X සත්‍යයකි” (ස්පොට් නම් සුනඛයා බුරයි) වැනි ප්‍රකාශයන් කිරීම අපට සිදු කිරීමට යථාත්‍යය තර්කය ඉඩ සලසයි.  කෙසේවෙතත් සමාන්‍යයෙන්  අප දන්නා දේ වන්නේ  X සත්‍ය වේ නම් බොහෝවිට   Y ද සත්‍යෙව්. (බුරන බල්ලෙකු සාමාන්‍යයෙන් හපා කන්නේ නැත.)  සහ ‘ X වැඩි අවස්ථාවලදී දළ වශයෙන් සත්‍ය බව පෙනී යයි ” (ස්පොට් නම් සුනඛයා  සාමාන්‍යයෙන් බුරයි.)

ඒ අනුව, බහුල වශයෙන් ගත්කල දැඩි තර්කානුකූල භාවය වෙනුවට, වඩාත් අස්ථාවර භාවයකින් ප්‍රතිඵලවලට මගපාදන සම්භාවිතාවන් හෝ වෙනත් තර්කන අකාර යොදාගත යුතුය. නිදසුනක් :  අද පැවති තත්ත්වයට  සමාන උදෑසන කාලගුණික තත්වයක් ඇති දින අතුරෙන් 70%ක දී  සාමාන්‍යයෙන් සවස් යාමයට පෙර වර්ෂාව පතිත වෙතැයි කියා සිටීම.

මෙහි දෙවන කොටස ලබන සදුදා…

American Association for the Advancement of Science මගින් සකසන Science for All Americans On-Line හි පළවූ  THE MATHEMATICAL WORLD  නම්  9 වෙනි පරිචේදය ඇසුරෙන් සැකසෙන ලිපි මාලාවක තවත් ලිපියකි   මේ.