ගණිතමය ලෝකය : තර්කනය 2 කොටස

ගණිතය යනු  අමූර්ත(abstract) එමෙන්ම තර්කානුකූලව සම්බන්ධ වූ අදහස් ජාල ගොඩනැගීමට හා යොදා ගැනීමට අදාළ වන අවශ්‍යයෙන්ම චින්තන ක්‍රියාදාමයකි. මේ අදහස් බොහෝ විට පැනනගින්නේ විද්‍යාවේ එමෙන්ම තාක්ෂණයේ සහ  එදිනෙදා ජීවිතයේ ගැටලු විසඳීම සඳහා ඇතිවන අවශ්‍යතාවයෙනි. මේ ගැටලු, සංකීර්ණ විද්‍යාත්මක ගැටලුවක කිසියම් අංග ආකෘති ගත කරන්නේ කෙසේද යන්නෙහි සිට චෙක් පොතක් තුලනය කරන්නේ කෙසේද යන්න දක්වා පරාසයක් ගනියි.

මේ ලිපි මාලාවෙන් උත්සාහ දරන්නේ මිනිසුන්ගේ සියලුම ප්‍රයත්නයන් තුළ කාර්යභාරයක් ඉටුකරන මූලික ගණිතමය අදහස්, විශේෂයෙන්ම ප්‍රායෝගික  භාවිතයක් සහිත අදහස් සම්බන්ධ නිර්දේශ ඉදිරිපත් කරන්නටය. අමුර්තන ගොඩනගා එමෙන්ම මෑනවීම් සිදු කර සහ අනුමිති (implications), මුල් අවස්ථාව හා සංසන්දනය කර හරි වැරදි බලන්නාවූ නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රියාදාමයක් ලෙස අනුලක්ෂණය කෙරේ. මෙහිදී අවධානය යොමු වන්නේ එවන් නිරූපන කිරීම් සඳහා ලබාගත හැකි ගණිතමය රටා වර්ග හතක් පිළිබඳ නිදසුන් කෙරෙහිය. සංඛ්‍යාවල ස්වභාවය හා භාවිතය, සංකේතක සම්බන්ධතා, හැඩතල, සංශයතාව, දත්ත සම්පිණ්ඩනය, දත්ත නියදීම සහ නර්තනය එම හතයි. ලිපි පෙලෙහි දී මේ හත වෙන වෙනම ගෙන විග්‍රහ කරන්නෙමු.

තර්කනය (2 කොටස)

‘බොහෝ ප්‍රශ්නවලට පිළියම් සෙවීමේදී තර්කයෙහි  ඵලප්‍රයෝජනය සීමිතය’ යි අප පසුගිය සතියේ සදහන් කළා මතක යයි සිතමු. (එම ලිපිය මෙතනින් කියවන්න.)  තර්කානුකූල නිගමනය පොදු රීතියකට යොදා බැලුවහොත් ( පියාපත් සහිත සතුන් සියල්ලටම පියෑඹිය හැකිය), කිසියම් සුවිශේෂී අවස්ථාවක් හෝ අවස්ථා පෙළක් ගැන(පෙන්ගුයින්ලාට පියෑඹිය හැකිය)  අපට නිගමනයකට එලඹිය හැකිය.  එසේ වුවත්, පොදු රීති හටගන්නේ කොයිබින්ද? බොහෝ විට ඒවා නිරීක්ෂණවලින් සිදුකළ සාමාන්‍යකරණයන්ය — එනම්,   සමාන අවස්ථාවන් ගණනාවක්ම සොයා ගෙන ඒවාට අදාළ සත්‍ය වන දේ ඒ ආකාරයේ සියල්ලටම සත්‍යයක් ලෙස සැලකීම (මා දැක ඇති පියාපත් සහිත සතුන් සියලුදෙනාටම පියෑඹිය හැකි ය. එහෙයින් ඔවුන් (පියාපත් සහිත සතුන්) සියලුදෙනාටම පියෑඹිය හැකි වීමට පුළුවන). නොඑසේනම් අනාවරණය කරගත හැකි මාර්ගයක් නොමැතිවම, සංසිද්ධියක නිරික්සුම් කළහැකි අංග සමහරක් ඒ තුළින් තර්කානුකූලව අනුසරණය කරන බව දැන්විය හැකිය යන බලාපොරොත්තුව ඇතිව, (උදාහරණයක්: සියලුම ග්‍රහලෝක ගත් කල සූර්යයා ඒවායේ චලනයේ කේන්ද්‍රීයව පිහිටා ඇතැයි යන්න සත්‍යයක් වන්නේ ද? පෘථිවිය ඇතුළු ව එවැනි පද්ධතියකට අහසෙහි දෘශ්‍යමාන වන චලනයන් ඇති කළ හැකිද?) පරිකල්පනයෙන්(imagination) පොදු රීතියක් හටගත හැකිවේ.

මොන යම් මාර්ගයකින් හෝ එවන් පොදු රීතියක් උපකල්පනය කළ පසු එහි වලංගුතාව පරීක්ෂා කිරීම පිණිස තර්කය යොදා ගත හැකිය. ඊට පටහැනි අවස්ථාවක් සොයාගතහොත් ( පියෑඹීමට නොහැකි එහෙත් පියාපත් සහිත සතෙක්) උපකල්පනය සත්‍ය නොවේ. අනෙක් අතට යම් අවස්ථා පෙළක් (වර්ග කිහිපයක්) පිළිබඳ උපකල්පනයක් සත්‍ය බව තර්කානුකූලව ඔප්පු කිරීමට ඇති එකම මග අවස්ථා සියල්ල (පක්ෂීන් සියල්ල)  පරික්ෂා කිරීම ය. එය ප්‍රායෝගික වශයෙන් ගත් කල අසීරු කාර්යයක් වනවා පමණක් නොව ඇතැම් විට සෛධාන්තිකව වුවද කල නොහැක්කකි. එහෙයින් සාමාන්‍යයෙන්, පොදු උපකල්පනයක් සත්‍ය යැයි ඔප්පු කිරීමට වඩා පොදු උපකල්පනයක් තර්කානුකූලව අසත්‍යයයි ඔප්පු කිරීම  වඩාත් පහසුය. සුවිශේෂී අවස්ථා අති දැවැන්ත සංඛ්‍යාවක් පරීක්ෂාකිරීමෙන් ඒවා ඔප්පු කිරීමට නොහැකිවුව පවා ප්‍රශ්නගත ගණිතමය සාමාන්‍යකරණයන්ගේ සත්‍යතාව ඒත්තු යන ආකාරයකට ප්‍රදර්ශනය කිරීමට දැන් සමහර විට පරිගණක මගින් හැකියාව සපයනු ලැබේ.

සංසිද්ධිය පිලිබඳ පොදු පිලිවෙත් උපකල්පනය කර ඇත්නම්,  නිගාමී තර්ක(deductive logic) යොදා ගැනීමට විද්‍යාවට හැකි නමුත් එවන් තර්ක පොදු පිළිවෙතක් වෙතට මගපෑදීය නොහැකිය. විද්‍යාත්මක මූලධර්ම නිශ්චය කරන්නේ සාමාන්‍යයෙන් සීමිත සංඛ්‍යාවක අත්දැකීම සාමාන්‍යකරණය කිරීමෙනි.  නිදසුනක් ගමු: නිරීක්ෂනය කරනු ලැබූ පියාපත් සහිත සියලුම සතුන් බිත්තර වලින් හටගන්නේ නම්, ඇතැම් විට පියාපත් සහිත සියලු සතුන් එසේ කරනවා විය හැකියි. මෙය, නිරීක්ෂණයන් සංඛ්‍යාව කුඩා වුවද              (නිදසුනකට : වරක් ගින්නෙන් පිලිස්සීම, මුළු ජීවිත කාලය තුළම ගින්න ගැන සෝදිසියෙන් සිටීමට මගපෑදිය හැකිය) ඉතාම වැදගත් වර්ගයක තර්කණයකි.  කෙසේ වෙතත්, සාමාන්‍ය කරණය සඳහා අප තුළ ස්වභාවිකව ඇති ප්‍රවණතාව අපව වල්මත් කිරීමට මග පෑදිය හැකි ය. කැඩපතක් ( කණ්නාඩියක්) බිඳුනු දාට පහුවෙනිදාම අසනීප වීම හේතුවෙන් කෙනෙකු  මුළු ජීවිත කාලය පුරාවටම කැඩපත් බිඳෙනවාට කෙනෙකු බියපත් වීමට පුළුවන්ය. වඩාත් විචක්ෂණශීලී මට්ටමකින් ගතහොත්, යම් රෝග ලක්ෂණ ඇති රෝගීන් කිහිප දෙනෙකු ම අලූත් ඖෂධයක් භාවිතා කිරීමෙන් පසුව සුවපත්වීම සිදුවන්නට ඇත්තේ අහම්බෙන් වුවද, ඒ සමාන රෝගීන් සියල්ල එම ඖෂධය භාවිතයෙන් සුවපත් වෙතැයි සාමාන්‍යකරණය කිරීමට වෛද්‍යවරයකු පෙළඹෙන්නට පුලුවන.

සාමාන්‍ය කරණය සඳහා මනුෂ්‍යයන් අතර ඇති ප්‍රවණතාවයෙහි සියුම් අංශ ඇත. සාමාන්‍යකරණයට එළඹීමෙන් පසු ඒවා  සිදුවීම්  පිළෛබඳ මිනිසුන්ගේ සංජානනය මෙන්ම  අර්ථ නිරූපණය  කෙරෙහිද බලපෑම් ඇති කරයි. ඉහත නිදසුනම ගනිමු. (යම් රෝග ලක්ෂණ සහිත රෝගීන් සියලුදෙනාටම මෙකී ඖෂධය ගුණදායී වන්නේය යන සාමාන්‍යකරණයට එළඹීමෙන් පසුව, (ඇත්තටම එය සැක සහිත වුවද) රෝගීන්ගේ තත්ත්වය ගුණ අතට ඇහැරී ඇතැයි වෛද්‍යවරයා අර්ථ දැක්වීමට  ඉඩ ඇත. පරීක්ෂණවලදී එවැනි අගතීන් ඇතිවීම වැළැක්වීම පිණිස විද්‍යාඥයන් බහුලව භාවිතා කරන උපක්‍රමයක් ඇත. එය හදුන්වනු ලබන්නේ ‘අඥාත‘ (‘blind’නොදන්නා) කාර්ය දාමය ලෙසයි. මෙහිදී ප්‍රතිඵල නිරීක්ෂණය හෝ අර්ථදැක්වීම කරන තැනැත්තා ‘ තත්ත්වයන්‘ පාලනය කරන තැනැත්තාම නොවේ. ( නිදසුනකට: රෝගීන්ගේ ‘ තත්ත්වය‘ නිර්ණය කරනු ලබන ෛද්‍යවරයා එම රෝගියා ලැබූ සුවිශේෂී ප්‍රතිකාර කුමක්දැයි නොදනී).

තර්කනයේ බොහොමයකටම් සහ සමහරවිට නිර්මාණාත්මක සිතුවිලි වලින් වැඩි හරියකට තර්කය පමණක් නොව සදෘශ්‍යයන් ද (analogies)  සම්බන්ධය. කිසියම් ආකාරයකින් එක් අවස්ථාවක් තවත් අවස්ථාවක් හා සමාන බව පෙනී යන්නේ නම් අනිත් ආකාරවලින්ද එය සමාන යයි අප විශ්වාස කිරීමට ඉඩ ඇත. නිදසුනක් ආශ්‍රයෙන් තවත් පැහැදිලි කර ගනිමු.  ජලයේ යම් කැලඹීමක් හේතුවෙන් ජල තරංග පැතිර යන ආකාරයටම ආලෝකය (එහි)  ප්‍රභවයකින් ඈතට පැතිරෙන හෙයින් තරංග එකිනෙක හරහා යද්දී නිරෝධන රටා නිපදවීම වැනි අනෙකුත් ආකාර වලින් ද ආලෝකය ජලතරංග මෙන් ක්‍රියාකරයි. (ඇත්තටම එය සිදුවේ).  නැතහොත් සූර්යයා තාපය හා ආලෝකය නිපදවන හෙයින් සූර්යයා ද  ගින්නක් වගේය. ඉතින් සමහර විට සූර්යයා ද ඉන්ධන දැවීමට  සම්බන්ධ විය හැකිය. ( ඇත්තටම එය සම්බන්ධ නැත).  වැදගත් දෙය වන්නේ සදෘශ්‍ය මගින් තර්කනය කිරීමෙන් යම් නිගමන දැක්වීමක් සිදු කළ හැකි වුවද කිසිදා ඒවා සත්‍ය ලෙස ඔප්පු කළ නොහැකිය යන්නයි.

ගණිතමය ලෝකය ලිපි පෙළ මෙතනින් අවසන් වෙයි. ලබන සඳුදා සිට විද්‍යාවේ, ගණිතයෙහි හා තාක්ෂණයෙහි දැකිය හැකි පොදු තේමා ගැන නව ලිපි පෙලක් ඇරඹේ.

American Association for the Advancement of Science මගින් සකසන Science for All Americans On-Line හි පළවූ  THE MATHEMATICAL WORLD  නම්  9 වෙනි පරිචේදය ඇසුරෙන් සැකසෙන ලිපි මාලාවක අවසන් ලිපියේ අවසන් කොටසයි මේ..